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三維空間定位準確度定義與測量說明
王正平
美國光動公司
1180 Mahalo Place
Compton, CA 90220
310-635-7481
optodyne@aol.com
I. 簡介
20年前，大型機器的主要定位精度為絲桿的螺距誤差及熱膨脹誤差，但直至今日上述的大部份誤差已藉由線性編碼器來減少與補償，因此機器的誤差轉而變成以垂直度誤差與直線度誤差為主要原因，然而為了達到三維空間定位精度，垂直度誤差與直線度誤差的測量與補償則變得更為重要。
II. 機床定位誤差
就三軸機器而言，每軸共有六項誤差，或換句話說，三軸共有十八誤差加上三項垂直度誤差，這二十一項剛體誤差可以表示如下[1]:
直線位移誤差: Dx(x), Dy(y), 及 Dz(z)
垂直直線度誤差: Dy(x), Dx(y), 及Dx(z)
水平直線度誤差: Dz(x), Dz(y), 及Dy(z)
橫轉度誤差: Ax(x), Ay(y), 及Az(z)
俯仰度誤差: Ay(x),Ax(y), 及Ax(z)
偏搖度誤差: Az(x), Az(y), 及Ay(z)
垂直度誤差: Øxy, Øyz, Øzx,
其中D為直線誤差，下標表示位移方向，位置坐標為函數(shù)中的變量，A為角度誤差，下標表示旋轉方向，位置坐標為函數(shù)中的變量。
III. 現(xiàn)有的空間精度定義
對于三軸機器而言，主要的定位誤差為各軸的位移誤差Dx(x), Dy(y), Dz(z)，空間誤差則定義為這些位移誤差和的平方根，因此可表示如下式：
空間誤差 = sqrt {[Max Dx(x)-Min Dx(x)]²
+ [Max Dy(y)-Min Dy(y)]² + [Max Dz(z)- Min Dz(z)]²}.
上述的定義當主要誤差為三項位移誤差(或絲桿螺距誤差)時是正確的，但是近年來的機器，其主要誤差為直線度誤差與垂直度誤差，遠大于直線位移誤差，因此上述的定義并非絕對符合.
IV. 空間精度的新定義
各軸向的定位誤差Dx(x,y,z), Dy(x,y,z)及Dx(x,y,z)為位移誤差與直線度誤差的和可表示如下式：
Dx(x,y,z) = Dx(x) + Dx(y) + Dx(z),
Dy(x,y,z) = Dy(x) + Dy(y) + Dy(z),
Dz(x,y,z) = Dz(x) + Dz(y) + Dz(z).
空間誤差為這些總誤差的均方根，如下式所示：
空間誤差 = sqrt {[Max Dx(x,y,z)-Min Dx(x,y,z)]²
+ [Max Dy(x,y,z)-Min Dy(x,y,z)]² + [Max
Dz(x,y,z)- Min Dz(x,y,z)]²}.
因此使用一般的激光干涉儀來測量這些直線度與垂直度誤差是相當耗時的，而在ASME B5.54[2]或ISO 230-6[3]標準中所列的體對角線位移測量則是種快速的空間誤差檢驗方法。
V. 體對角線位移測量
空間定位誤差包含三項位移誤差、六項直線度誤差、三項垂直度誤差與一些角度誤差，將會在四條體位移對角線誤差中解出后獲得[4]，這是一種較佳且有效的空間誤差測量方法，空間誤差可定義為 [Max Dr(x,y,z) – Min Dr(x,y,z)]，其中Dr(x,y,z)為對角線位移誤差。
B5.54與ISO230-6機床性能測量標準中的介紹，使得以激光體對角線位移測量所進行的空間誤差快速檢驗變得更為普及，B5.54體對角線位移測試已經(jīng)為波音飛機公司及其它公司廣為使用多年，并獲得良好結果與成效。
VI. 分段對角線或向量測量
當機器本身具有較小的體對角線位移誤差時，空間誤差相對的亦小，而當機器本身具有較大的體對角線位移誤差時，并無足夠的數(shù)據(jù)可用來計算出造成較大空間誤差的誤差組成。使用光動公司的激光多普勒位移量尺（LDDM）來進行分段對角線或向量測量，可由4條分段對角線測量中采集到12筆數(shù)據(jù)[4,5]，因此三項位移誤差、6項直線度誤差與3項垂直度誤差可由此計算出，所測得的誤差可用來補償空間定位誤差與改善三維定位精度或空間精度。
VII. 三維格點中的最大誤差
以機器工作空間X、Y與Z的而言，每一軸分別有I、J與K個點，可以以x軸，i=1,2,....I；y軸，j = 1, 2, ...J；及z軸，k =1,2,...K，三維誤差表具有I*J*K個點，在每一點皆有分別代表在x軸、y軸及z軸上的誤差，dx = Dx(i,j,k),，dy = Dy(i,j,k)與dz =Dz(i,j,k)。簡單從Fanuc取得的格式：其中I = 3,，J = 4，與K = 3，及l =I*J*K=36 為最大行數(shù)。A1 = x軸，A2 = y軸，A3 = z軸及靠近P的數(shù)為誤差值[ ]。
N100001A1P[dx]A2P[dy]A3P[dz] i=1, j=1, k=1, l=1,
N100002A1P[dx]A2P[dy]A3P[dz] i=2, j=1, k=1, l=2,
N100003A1P[dx]A2P[dy]A3P[dz] i=3, j=1, k=1, l=3,
N100004A1P[dx]A2P[dy]A3P[dz] i=1, j=2, k=1, l=4,
N100005A1P[dx]A2P[dy]A3P[dz] i=2, j=2, k=1, l=5,
N100006A1P[dx]A2P[dy]A3P[dz] i=3, j=2, k=1, l=6,
N100007A1P[dx]A2P[dy]A3P[dz] i=1, j=3, k=1, l=7,
N100008A1P[dx]A2P[dy]A3P[dz] i=2, j=3, k=1, l=8,
N100009A1P[dx]A2P[dy]A3P[dz] i=3, j=3, k=1, l=9,
N100010A1P[dx]A2P[dy]A3P[dz] i=1, j=4, k=1, l=10,
N100011A1P[dx]A2P[dy]A3P[dz] i=2, j=4, k=1, l=11,
N100012A1P[dx]A2P[dy]A3P[dz] i=3, j=4, k=1, l=12,
N100013A1P[dx]A2P[dy]A3P[dz] i=1, j=1, k=2, l=13,
N100014A1P[dx]A2P[dy]A3P[dz] i=2, j=1, k=2, l=14,
N100015A1P[dx]A2P[dy]A3P[dz] i=3, j=1, k=2, l=15,
………………………………….. …………………..&, lt;, /FONT>
………………………………….. …………………..
N100034A1P[dx]A2P[dy]A3P[dz] i=1, j=4, k=3, l=34,
N100035A1P[dx]A2P[dy]A3P[dz] i=2, j=4, k=3, l=35,
N100036A1P[dx]A2P[dy]A3P[dz] i=3, j=4, k=3, l=36,
空間誤差可定義為在三維格點中最大的誤差，可表示如下式：
空間誤差 = Max sqrt[Dx(i,j,k)* Dx(i,j,k) + Dy(i,j,k)* Dy(i,j,k)
+ Dz(i,j,k)*Dz(i,j,k)].
由向量方法所測得的誤差可用來產(chǎn)生三維誤差表并計算出最大誤差。
VIII. 總結與討論
20年前，機床最大定位誤差為絲桿的螺距誤差與熱膨脹誤差，空間誤差被定義為各軸位移誤差和的均方根是正確的，但現(xiàn)今大部分機器的主要誤差為直線度誤差與垂直度誤差，空間誤差則應被定義為在x、y及z方向上所有誤差和的均方根。
在ASME B5.54或 ISO 230-6機床性能測量所提到的激光體對角線測量是空間誤差最快的檢驗方式，體對角線已被多家航天公司及其它公司采用多年，并得到良好的結果與成效。分段體對角線或向量方法對于計算出位移誤差、直線度誤差與垂直度誤差是非常有效且快速的方法[4,5]。
在三維格點中的最大誤差對于機床使用者計算出工件能加工到多準確及何處是機器的最理想加工點是非常有幫助的。
參考文獻
[1] Schultschik, R., The components of the volumetric accuracy, Annals of the CIRP,
Vol.25, No.1, pp223-228, 1977.
[2] Methods for Performance Evaluation of Computer Numerically Controlled
Machining Centers, An American National Standard, ASME B5.54-1992
by the American Society of Mechanical Engineers, p69, 1992.
[3] ISO 230-6: 2002 Test code for machine tools – Part 6: Determination of
positioning accuracy on body and face diagonals (Diagonal displacement tests)”, an
International Standard, by International Standards Organization, 2002.
[4] Wang, C. and Liotto, D. A theoretical analysis of 4 body diagonal displacement
measurement and sequential step diagonal measurement ,Proceedings of the
LAMDAMAP 2003 Conference, Huddersfield, England, July 3-5, 2003.
[5] Wang, C., Laser Vector measurement Technique for the determination and
compensation of volumetric positioning errors. Part I: Basic theory, Review
of Scientific Instruments, Vol. 71, No 10, pp 3933-3937, 2000.
3DvolposAccuracy-cs.doc 7/31/2003
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