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0 引言
科里奧利質(zhì)量流量計(jì)(CMF)是一種用于直接測(cè)量質(zhì)量流量的流量計(jì)，它在原理上消除了溫度、壓力、流體狀態(tài)、密度等參數(shù)的變化對(duì)測(cè)量精度的影響，可以適應(yīng)氣體、液體、兩相流、高粘度流體和糊狀介質(zhì)的測(cè)量，是一種高精度的適應(yīng)范圍很廣的測(cè)量方法，它還具有
壓力損失小、自排空、保持清潔等眾多特點(diǎn)，是流量測(cè)量的發(fā)展方向之一。
科里奧利質(zhì)量流量計(jì)，是利用流體流過振動(dòng)管道時(shí)產(chǎn)生科里奧利效應(yīng)對(duì)管道兩端振動(dòng)相位的影響來測(cè)量流過管道的流體質(zhì)量的。要深人了解CMF的工作情況并改進(jìn)CMF的性能，有必要研究CMF的振動(dòng)模態(tài)。其作用有:
①為了容易激振，一般都選擇測(cè)量管的諧振頻率作為激振頻率;
②選擇合適的激振頻率避開工業(yè)現(xiàn)場(chǎng)的干擾，會(huì)給信號(hào)分離帶來便利;
③激振器、拾振器和電路的設(shè)計(jì)及信號(hào)的處理都需要了解振動(dòng)頻率;
④拾振器的布置需要了解CMF的模態(tài);
⑤結(jié)構(gòu)優(yōu)化，應(yīng)力、應(yīng)變以及疲勞壽命的計(jì)算;
⑥可以利用CMF系統(tǒng)中的振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行狀態(tài)監(jiān)測(cè)和故障預(yù)報(bào);
⑦了解振動(dòng)的過程，得到偏離理想振動(dòng)下的誤差以及補(bǔ)償;
⑧了解干擾振動(dòng)帶來的誤差，采取措施來消除或防止系統(tǒng)可能出現(xiàn)的干擾振動(dòng)，從而確保CMF的精度和可靠性心
1 科里奧利質(zhì)量流量計(jì)測(cè)量原理概述
科里奧利流量計(jì)有多種形式，下面以單直管科里奧利流量計(jì)為例來討論。
如圖l所示，測(cè)量管的中間設(shè)置有激振裝置，兩端設(shè)置有拾振傳感器。沒有流體流過的時(shí)候，管子的振動(dòng)如圖la所示，管子兩端的振動(dòng)狀態(tài)相同。當(dāng)流體流過振動(dòng)管道時(shí)，就產(chǎn)生和激振頻率相同的科里奧利加速度和科里奧利力，如圖lb所示，AC段和CB段的科里奧利力大小相同，方向相反，作用疊加在測(cè)量管上，便管子產(chǎn)生了扭曲和振動(dòng)相位變化�？评飱W利力和流過管道的流體密度和流速成正比(即質(zhì)量流量)。對(duì)于線性系統(tǒng)，可知質(zhì)量流量卻相位差成正比。
圖l 質(zhì)量流量計(jì)測(cè)量原理 管道中流體的科里奧利加速度為  =2  ×  ，流體微元所受到的科里奧利力dFc=－dm ·  =2  ×  ·dm。入口段和出口段的瞬時(shí)振動(dòng)角速度方向相反�？梢娙肟诙慰评飱W利力與振動(dòng)方向相反，使振動(dòng)減弱和滯后；出口段科里奧利力巧振動(dòng)方向相同，使振動(dòng)加強(qiáng)和提前。 根據(jù)兩端固定支承梁的振動(dòng)方程和所受的科里奧利力，可以得出兩側(cè)檢測(cè)點(diǎn)的振動(dòng)信號(hào)相位差和質(zhì)量流量成正比的結(jié)論：
  =(K / E)q m
式中：K為常數(shù)；E為彈性模量；qm為質(zhì)量流量。
如圖2所示，是單直管科氏質(zhì)量流量計(jì)的一種方案，由測(cè)量管、支承管、套管、電磁激振器、拾振器(電磁振動(dòng)傳感器)和聯(lián)接法蘭等組成。
圖2 單直管科氏質(zhì)量流量計(jì)結(jié)構(gòu)
2 測(cè)量管的振動(dòng)分析
測(cè)量管兩端和套管的聯(lián)結(jié)一般采用焊接或者膠接，中部受激振力，細(xì)長(zhǎng)結(jié)構(gòu)，所以可以簡(jiǎn)化為梁模型。兩端近似剛性支承，可以簡(jiǎn)化為固支梁。
梁段的彎曲轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)與剪切變形略去不計(jì)，若引用牛頓力學(xué)來建立梁彎曲振動(dòng)時(shí)的運(yùn)動(dòng)方程，可由梁中截取一微元段，梁在對(duì)稱平面內(nèi)作鉛垂方向振動(dòng)時(shí)，微元主要作上下運(yùn)動(dòng)。圖3a表示在梁在x一y平面內(nèi)振動(dòng)。靜止時(shí)y(x，0)=0。在某種激勵(lì)下梁離開了平衡位置。從梁的任意截面x取出一小段dx，它的受力見圖3b。這一小段的質(zhì)量為m，上下振動(dòng)的加速度為  y /  t 2。由微元段的平衡條件得到： 式中：F為剪力；M為彎矩；m為梁?jiǎn)挝婚L(zhǎng)度的質(zhì)量；y為梁彎曲振動(dòng)時(shí)的撓曲位移。
圖3梁的彎曲振動(dòng)和微元受力分析
略去剪切變形對(duì)梁的撓曲位移的影響時(shí)，有
M=EIx 
式中：EIx為梁的抗彎剛度。用撓度y表示的梁的彎曲振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)微分方程：
 (EIx  )+m  =0 (2)
對(duì)于具有邊界條件的梁，運(yùn)動(dòng)方程式(2)可用分離變量法求解，為此設(shè)
y(t，x)=W(x)T(t) (3)
式中：T(t)代表每一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，比如正弦振動(dòng)；W(x)為x點(diǎn)的幅度，表示了橫向振動(dòng)幅度沿著測(cè)量管軸向的分布。梁作彎曲振動(dòng)時(shí)，解為
T(t)=Asin  t+Bcos  t (4)
對(duì)于等剖面的均勻梁，由式(2)也得(EI xW’’)－  2mW=0，記a 2=EI x / m，記  2 / a 2=k 4(即k=  )因而有微分方程：  (4)－k4W=0 (5)
通解形式為W(x)=A  ，代人式(5)得其特征方程  －k 4=0，特征根  =k，－k，jk，－jk(j為單位虛數(shù))。因此，式(5)的一般解為 W(x)=Cekx+De－kx+Eejkx+Fe－jkx (6)
式中：C，D，E及F由邊界條件決定。測(cè)量管一般是焊接到系統(tǒng)中的。所以邊界條件為固支，有：
x=0 時(shí)，Y（0，t）=0，即W（0）=0；Y’（0，t）=0，即W’(0)=0； x=L時(shí)，Y（L，t）=0，即W（L）=0；Y’（L，t）=0，即W’(L)=0；
解方程可得測(cè)量管的各階固有頻率：
 i=   (7)
3 有限元模態(tài)分析
CMF工作中，主要是要求測(cè)量管振動(dòng)來實(shí)現(xiàn)對(duì)流量的測(cè)量，簡(jiǎn)單一點(diǎn)是只考慮測(cè)量管的振動(dòng)，認(rèn)為它是固定在CMF中的；全面一點(diǎn)考慮，應(yīng)該考慮對(duì)CMF整體建模，主要部件都應(yīng)該加入模型。
實(shí)際中，測(cè)量管兩端并非剛性支承，如果要考慮套管等各個(gè)部件的振動(dòng)，精確的理論模型會(huì)很復(fù)雜，一般只能采用有限元等數(shù)值計(jì)算方法來分析。本文中將對(duì)CMF做些簡(jiǎn)化，暫不考慮激振器和拾振器的附加質(zhì)量的影響，也未考慮流固耦合的影響。采用MSC·Marc建立CMF的有限元模型。
3 CAD幾何模型和CAE模型的建立
CMF為軸對(duì)稱結(jié)構(gòu)，可以采用二維有限元模型，這里為了提高分析精度，采用了實(shí)體模型。
僅分析測(cè)量管時(shí)，由于其結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，所以可直接在Marc中方便地建立實(shí)體模型。如果要分析CMF整體的振動(dòng)情況，需要對(duì)CMF整體建立實(shí)體模型。結(jié)構(gòu)較復(fù)雜，Marc中建模較麻煩，可以利用CAD軟件建立模型。CMF為軸對(duì)稱結(jié)構(gòu)，采用二維CAD模型在Marc中旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生三維CAD模型的建模方法。
①繪圖：在AutoCAD中以1：1的尺寸比例，繪制二維裝配圖(平面視圖)。省略或刪除一些對(duì)模態(tài)分析影響不大的細(xì)節(jié)結(jié)構(gòu)。按各零件的材料屬性和聯(lián)接關(guān)系，進(jìn)行適當(dāng)合并簡(jiǎn)化。
②導(dǎo)入幾何模型：Marc的前后處理用戶界面Mentat具有多種CAD格式數(shù)據(jù)文件接□，故由此可讀入AutoCAD的DWG格式的二維模型，這樣既節(jié)省建模時(shí)間，又避免了重復(fù)建�？赡芤鸬牟铄e(cuò)。
③幾何檢查：檢查每個(gè)區(qū)域是否由封閉曲線包圍，消除曲線間的小間隙，合并刪除過短曲線。焊接部位按照固聯(lián)處理，法蘭聯(lián)接簡(jiǎn)化為固支。
④對(duì)各零件的平面區(qū)域分別劃分網(wǎng)絡(luò)：設(shè)種子點(diǎn)，自動(dòng)劃分有限元網(wǎng)格，對(duì)局部不合理的畸形單元進(jìn)行適當(dāng)手工調(diào)整，對(duì)于重合節(jié)點(diǎn)進(jìn)行合并操作，保證相交面的交線處網(wǎng)格匹配。將對(duì)應(yīng)于不同零件的區(qū)域內(nèi)單元的全體，定義為不同的單元集合(element set)，以便后面對(duì)不同(零件)區(qū)域的單元進(jìn)行不同的操作。單元集合的定義方法是選擇某個(gè)零件區(qū)域，分別執(zhí)行單元存儲(chǔ)操作，取合適的單元集名，就可存為不同的單元集合。命名盡量遵循見名知意的原則。
⑤旋轉(zhuǎn)生成實(shí)體：將整個(gè)二維網(wǎng)格繞其對(duì)稱軸旋轉(zhuǎn)，就生成三維網(wǎng)格。平面單元的材料和幾何屬性也就自動(dòng)賦給相應(yīng)的三維單元。
在二維有限元分析中常用三角形和四邊形單元，三角形單元對(duì)分析區(qū)域的邊界逼近得較好，但變形性能不好，各邊上的應(yīng)變值是常數(shù)，會(huì)出現(xiàn)所謂單元"變硬"的現(xiàn)象，分析精度下降。為此，圖4所示平面模型多采用四邊形單元。
圖4 CMF整體的二維平面網(wǎng)格圖
旋轉(zhuǎn)后的三維單元是Marc中的7號(hào)單元，為八節(jié)點(diǎn)六面體等參單元。采用假定應(yīng)變法，提高低階單元的彎曲變形。
⑥合并區(qū)域鄰接處的冗余節(jié)點(diǎn):測(cè)量管、套管和法蘭之間為剛性聯(lián)結(jié)，故即將各零件區(qū)域相鄰處的重復(fù)節(jié)點(diǎn)合并；支承管和法蘭之間采朋粘接。
⑦施加邊界條件：流量計(jì)是通過法蘭聯(lián)接安裝到管線上的。將法蘭的螺栓聯(lián)接簡(jiǎn)化為固定法蘭外側(cè)面，忽略螺栓孔，即限制法蘭外側(cè)面上每個(gè)節(jié)點(diǎn)的全部6個(gè)自由度。
對(duì)于單獨(dú)測(cè)量管模型，有兩端固支、一端僅可軸向自由移動(dòng)、懸臂(一端完全自由)等。固支簡(jiǎn)化為管端面固定，約束端面節(jié)點(diǎn)的全部自由度；軸向自由是指沿著測(cè)量管軸線方向的移動(dòng)自由度不限制；懸臂端，則沒有約束，完全自由。
本例中CMF裝配圖，其劃分后的二維平面網(wǎng)格如圖4所示。Marc中旋轉(zhuǎn)生成的整個(gè)流量計(jì)的實(shí)體模型，有限元網(wǎng)格如圖5所示。
圖5 CMF整體的三維有限元網(wǎng)格圖
3.2 有限元計(jì)算方法的選擇
模態(tài)求解，就是求解系統(tǒng)特征方程，方法主要有逆冪法和Lanczos法。當(dāng)系統(tǒng)特征方程有兩個(gè)特征值很接近時(shí)，逆冪法可以得到滿意的結(jié)果；但如果有多于兩個(gè)特征值很接近，則收斂性較差。另外，逆冪法僅對(duì)提取少數(shù)幾階模態(tài)特別有效。
Lanczos法將特征值問題轉(zhuǎn)化為三對(duì)角矩陣的特征值問題，此法可用于確定所有模態(tài)或部分模態(tài)。由于本文所分析的流量計(jì)是軸對(duì)稱結(jié)構(gòu)，特征值一般會(huì)成對(duì)出現(xiàn)，采用逆冪法可能會(huì)出現(xiàn)求解過程無法收斂的問題，所以采用Lanczos法。
計(jì)算自由狀態(tài)的模態(tài)，受自由邊界條件的影響，剛度矩陣是半正定的，會(huì)出現(xiàn)剛體模態(tài)。必須允許非正定矩陣才能進(jìn)行計(jì)算，矩陣的非正定經(jīng)過反復(fù)迭代會(huì)帶來很大誤差，使模態(tài)計(jì)算結(jié)果失真。根據(jù)剛體模態(tài)全是0頻的特點(diǎn)，設(shè)置模態(tài)計(jì)算的最低頻率大于0，濾去0頻率的影響，可以得到較好的計(jì)算結(jié)果。
4 有限元計(jì)算實(shí)例和分析
4·1測(cè)量管實(shí)體模型的模態(tài)與振型
建立測(cè)量管的實(shí)體模型，取測(cè)量管長(zhǎng)度396mm(CMF整體長(zhǎng)度除去法蘭長(zhǎng)度)，壁厚1mm，約束測(cè)量管兩端所有節(jié)點(diǎn)的自由度。
計(jì)算測(cè)量管模態(tài)，可以發(fā)現(xiàn)對(duì)于每一頻率，都有兩個(gè)模態(tài)，彎曲振動(dòng)方向相互垂直，與測(cè)量管的軸對(duì)稱特征相吻合。相同頻率的兩個(gè)模態(tài)可以認(rèn)為是同一階模態(tài)，與歐拉梁理論模型的計(jì)算結(jié)果吻合。前四階模態(tài)如圖6所示。
圖6 單獨(dú)的測(cè)量管模型計(jì)算所得測(cè)量管模態(tài)
一股選樣測(cè)量管的一階模態(tài)頻率作為CMF的激振頻率，這樣振幅大，有利于激振。也有利用高階模態(tài)或者檢測(cè)一階模態(tài)的高次諧波，有利于避開工業(yè)現(xiàn)場(chǎng)強(qiáng)的低頻干擾振動(dòng)和噪聲。
4·2 CMF整體模型的模態(tài)與振型
圖7a～圖7d分別是CMF整體有限元模型的4階模態(tài)、套管彎曲、支承管和測(cè)量管彎曲、整體(三層管)扭轉(zhuǎn)、支承管彎曲等。為了便于查看，放大了變形，所以有時(shí)候會(huì)出現(xiàn)內(nèi)層管穿出來了，并不表示真的如此，實(shí)際中的變形是非常微小的。
圖7 CMF整體的模態(tài)
4．3 對(duì)比CMF整體有限元模型和單獨(dú)的測(cè)量管固支模型
CMF整體模態(tài)與測(cè)量管模態(tài)是一致的。整體模態(tài)中一、三、階模態(tài)就與測(cè)量管的一、二階模態(tài)對(duì)應(yīng)，表現(xiàn)為測(cè)量管的一、二階彎曲，而且頻率相差在0.3%以內(nèi)。CMF整體模態(tài)中也出現(xiàn)了反映套管和支承振動(dòng)的模態(tài)，所以流量計(jì)在設(shè)計(jì)過程中也應(yīng)考慮支承管和套管對(duì)測(cè)量管的影響。
計(jì)算分析可以看出，只研究測(cè)量管低頻動(dòng)態(tài)特性時(shí)，由于法蘭部分剛度較大，支承管和套管相對(duì)測(cè)量管剛度也較大，CMF中測(cè)量管的動(dòng)態(tài)分析，可以根據(jù)具體情況，簡(jiǎn)化為除去法蘭長(zhǎng)度部分的測(cè)量管的分析，又由于其結(jié)構(gòu)細(xì)長(zhǎng)還可以按梁式模型簡(jiǎn)化。
表1 列出了前幾階模態(tài)。
表1 模態(tài)計(jì)算結(jié)果的比較
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模態(tài)頻率/Hz |
振型描述 |
|
階次 |
CMF整體模型 |
階次 |
測(cè)量管模型 |
|
1 |
445．414 |
1 |
446．52 |
測(cè)量管一階彎曲 |
|
2 |
1082．14 |
|
|
套管和支承管一階彎曲 |
|
3 |
1216．75 |
2 |
1215．16 |
測(cè)量管二階彎曲 |
|
4 |
1223．24 |
|
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整體的扭轉(zhuǎn) |
|
5 |
1461．17 |
|
|
支承管一階彎曲 |
| |
|
3 |
2344．22 |
測(cè)量管三階彎曲 |
| |
|
4 |
3801．64 |
測(cè)量管四階彎曲 |
4·4 支承類型對(duì)模態(tài)頻率的影晌
前述兩端固支類型的單直管科里奧利質(zhì)量流量計(jì)中，軸向溫度應(yīng)力和殘余應(yīng)力的影響較大，所以流量計(jì)的溫漂和隨時(shí)間的漂移較大，另外由于彎曲剛度大，所以流量計(jì)的靈敏度低，相對(duì)環(huán)境干擾較大，就是信噪比較低。故需要采取各種措施改善。除了采取彈性模量小、熱膨脹系數(shù)低的材料外，結(jié)構(gòu)上也有很多措施，比如兩端附加剛度低的波紋管段，采取斷開式或懸臂結(jié)構(gòu)等，這樣測(cè)量管就可簡(jiǎn)化為不同支承的梁。
下面我們就分析幾種支承對(duì)于模態(tài)頻率的影響。分析測(cè)量管的模態(tài)，分析方法同前，長(zhǎng)度396mm，壁厚lmm，支承狀態(tài)及響應(yīng)的模態(tài)頻率(單位為Hz)如表2所示。
表2 支承類型對(duì)模態(tài)頻率的影響
| 支承 |
| 階次 |
兩端固支 |
一端固支 一端軸向自由 |
兩端軸向自由 |
自由狀態(tài) |
懸臂狀態(tài) |
| 一階(彎曲) |
446．52 |
308．321 |
197．533 |
446．755 |
70．6445 |
| 二階(彎曲) |
1215．16 |
989．764 |
785．203 |
1221．35 |
439．713 |
| 三階(彎曲) |
2344．22 |
2038．01 |
1748．84 |
2366．12 |
1218．78 |
| 四階(彎曲) |
3801．64 |
3201．97（收縮） |
3066．7 |
3852．21 |
2355．05 |
比較表2不同支承的模態(tài)頻率，可以知道，兩端固支（限制節(jié)點(diǎn)的所有自由度）和不約束時(shí)，模態(tài)相同，模態(tài)頻率較高。
軸向可以自由伸縮時(shí)，一價(jià)模態(tài)頻率降低，僅一端軸向自由(約束除軸向外的其余自由度)時(shí)，模態(tài)頻率居中；兩端均軸向白由時(shí)，模態(tài)頻率更低一些，一端完全自由的(懸臂)，一階模態(tài)頻率最低。
有自由端時(shí)，模態(tài)頻率降低的原因，應(yīng)該主要是彎曲過程中基本消除了軸向伸縮振動(dòng)產(chǎn)生的軸向力的影響。實(shí)際振動(dòng)中，由于軸向伸縮振動(dòng)過程中存在慣性力，所以軸向力不可能完全消除。當(dāng)有一端固定的時(shí)候，會(huì)對(duì)軸向伸縮振動(dòng)產(chǎn)生約束，會(huì)增大軸向力，所以會(huì)增大模態(tài)頻率。
一端固定，另一端可自由伸縮時(shí)，其結(jié)果相對(duì)兩端全部固定的測(cè)量管模態(tài)頻率低，由于約束不對(duì)稱，出現(xiàn)了模態(tài)的不對(duì)稱，而且由于軸向自由度沒有限制出現(xiàn)軸向收縮模態(tài)(限于篇幅，圖略去)。
5 結(jié)論
有限元分析在科里奧斯質(zhì)量流量計(jì)的動(dòng)態(tài)分析中有重要作用，本文對(duì)其進(jìn)行了模態(tài)分析計(jì)算。對(duì)于整體的模態(tài)分析，依據(jù)其軸對(duì)稱結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，可利用現(xiàn)成的二維CAD視圖，導(dǎo)人到Marc中，對(duì)不同的零件區(qū)域分別劃分網(wǎng)格，然后旋轉(zhuǎn)生成三維模型。采用Lanczos法計(jì)算模態(tài)。對(duì)比單獨(dú)的測(cè)量管模型的模態(tài)計(jì)算結(jié)果，可知整體模型的模態(tài)類型多，可能有一些模態(tài)會(huì)干擾測(cè)量管的正常工作模態(tài)。另外支承狀態(tài)對(duì)模態(tài)有很大影響，主要原因是彎曲振動(dòng)引起的附加軸向伸縮振動(dòng)，產(chǎn)生的軸向力會(huì)阻礙彎曲振動(dòng)。 | 
=m 
； 
=F (1)
